解析函数 Chebyshev 展开系数的快速高精度计算
数值分析
2015-03-30 v2
摘要
利用 FFT 可以高效计算 Chebyshev 展开系数，对于光滑函数，由此产生的近似接近最优，且计算具有数值稳定性。给定足够精确的函数采样点，Chebyshev 展开系数可计算至机器精度。然而，这种精度仅针对绝对误差，这意味着非常小的展开系数通常具有非常大的相对误差。在对 Chebyshev 展开进行微分时，小系数中的这种相对误差会被放大，从而导致精度丢失，尤其是在重复微分之后。乍一看，这似乎不可避免。然而，在本文中，我们专注于利用复平面上的围道积分来替代计算 Chebyshev 展开系数。主要结果是，系数的计算可以达到机器精度的相对误差，而非绝对误差。这意味着即使是非常小的系数也能以完整的浮点精度进行计算，即使它们本身远小于机器精度。因此，在对展开式进行微分后不会丢失精度，甚至可以使用标准浮点算术以接近机器精度的准确度计算解析函数的第 100 阶导数。在某些情况下，围道积分可以使用 FFT 进行评估，使得该方法既高精度又快速。
引用
@article{arxiv.1404.2463,
title = {Fast and highly accurate computation of Chebyshev expansion coefficients of analytic functions},
author = {Haiyong Wang and Daan Huybrechs},
journal= {arXiv preprint arXiv:1404.2463},
year = {2015}
}