Fano 访客、Fano 维数与 orbifold Fano 宿主

在 arXiv:1503.00125 中，作者证明了每个完全交光滑射影簇 $Y$ 都是一个 Fano 访客，即其导出范畴 $D^b(Y)$ 等价于一个光滑 Fano 簇 $X$ 的导出范畴 $D^b(X)$ 的满三角子范畴，其中 $X$ 称为 $Y$ 的 Fano 宿主。他们还引入了 $Y$ 的 Fano 维数概念，即作为 Fano 宿主的 $X$ 的最小维数，并给出了每个完全交簇的 Fano 维数的上界。本文中，我们提供了一个 Fano 宿主存在的霍奇理论判据，使我们能精确确定许多有趣例子的 Fano 维数，例如低亏格曲线、五次 Calabi-Yau 三维簇和一般的完全交 Calabi-Yau 簇。接下来我们发起对更多 Fano 访客的系统搜索。我们推广了 arXiv:1503.00125 的方法，证明亏格至多 4 的光滑曲线都是 Fano 访客，且亏格至多 9 的一般曲线是 Fano 访客。对于曲面和高维簇，我们找到了更多 Fano 访客的例子并提出了自然的问题。我们还推广了 Bondal 的问题并研究了 Fano 轨道折的导出范畴的三角子范畴。我们证明了存在这样的 Fano 轨道折，其导出范畴包含与加权射影空间中的拟光滑完全交、曲线的雅可比、一般 Enriques 曲面、某些 Kummer 曲面族、双椭圆曲面、$\kappa=1$ 的曲面、经典 Godeaux 曲面、乘积-商曲面、全纯辛簇等相关的轨道折的导出范畴。从这些构造中，我们发现了其导出范畴包含拟幻象范畴或幻象范畴的 Fano 轨道折。