不满足剥壳性质的多面体有向图族
离散数学
2012-10-02 v2 组合数学
摘要
多面体有向图 G(P) 是凸多面体 P 的骨架的一个定向。在求解 P 上线性规划的单纯形法中，可能的非退化枢轴操作可表示为一类特殊的多面体有向图，称为 LP 有向图。目前尚无对哪些多面体有向图是 LP 有向图的一般刻画，尽管已知四个必要性质：无环性、唯一汇定向（USO）、Holt-Klee 性质以及剥壳性质。剥壳性质由 Avis 和 Moriyama（2009）引入，他们给出了两个 d=4 维中满足前三个性质但不满足剥壳性质的多面体有向图例子。其中较小的例子有 n=7 个顶点。Avis、Miyata 和 Moriyama（2009）对每个 d≥4 和 n≥d+2，构造了一个具有 n 个顶点的 d-多面体 P，其多面体有向图是一个满足 Holt-Klee 性质的无环 USO，但不满足剥壳性质。该构造基于一个最小的此类例子，其 d=4 且 n=6。在本文中，我们进一步探讨剥壳条件。首先，我们给出剥壳性质的一个表面上更强的定义，然后证明其等价于原始定义。利用这一更强的条件，我们能够给出此类族的更一般构造。特别地，我们证明，给定任意一个具有 n0 个顶点且其唯一汇为简单的 4 维多面体 P，我们可以对任意 d≥4 和 n≥n0+d-4，将 P 扩展为一个具有这些性质且拥有 n 个顶点的 d-多面体。最后，我们研究了 d-交叉多面体的剥壳条件的强度，Develin（2004）已对其 LP 定向给出了完整刻画。
引用
@article{arxiv.1110.3078,
title = {Families of polytopal digraphs that do not satisfy the shelling property},
author = {David Avis and Hiroyuki Miyata and Sonoko Moriyama},
journal= {arXiv preprint arXiv:1110.3078},
year = {2012}
}