有理数的忠实分解

如果一个不可约分数 $\frac mn>0$ 可以分解为若干不可约真分数之和，且该分数在分数理想 $\frac 1n\mathbb Z$ 中小于 $\frac mn 的正数不能通过用较小的非负整数替换某些分子来获得，则称这种分解为忠实的。对于$t\in\mathbb Z$，我们证明了当$2\le t\le\frac mn<t+1$时，$\frac mn$的忠实分解长度为至少$t+2$。此外，我们证明了一种仅由单位分数组成的忠实分解（除了一项之外）的构造。我们还将$\frac 4n$ 表示为最多三个分数的忠实分解，其中最多只有一个非单位分数。