正定周期函数的 Wiener 性质失效

若对于某个 $\epsilon>0$，每当一个正定函数 $f$ 属于 $L^p(-\epsilon,\epsilon)$ 时，$f$ 也必然属于 $L^p(\TT)$，则称 Wiener 性质对指数 $p>0$ 成立。根据 Wiener 的一个经典结果，这对于 $p\in 2\NN$ 是成立的。近期，关于环面上可测集上的幂等元和正定函数的各种集中性结果已被证明。这些新结果使我们能够证明对于 $p\notin 2\NN$，Wiener 性质失效的一个尖锐版本。从而，我们获得了 Wainger 和 Shapiro 结果的强力推广，他们曾证明了对于 $p\notin 2\NN$，Wiener 问题的答案是否定的。