Ising 关联函数 C(M,N) 在 $ \nu= \, -k$ 且 M+N 为奇数、$M \le N$、$T < T_c$ 时的因式分解及其 lambda 扩展

我们研究 Ising 低温关联函数 C(M,N) 在 $\nu=-k$ 且 M+N 为奇数、$M \le N$ 时的因式分解，分别考虑 $M\neq 0$（有两个因子）与 $M=0$（有四个因子）的情形。我们发现 $M \neq 0$ 时的两个因子满足同一个非线性微分方程，类似地，对 M=0 四个因子各自满足具相同 Okamoto 参数的 Painlevé VI 方程的 Okamoto sigma 形式。利用 Landen 变换，我们对 $M\neq 0$ 证明前述非线性微分方程实际上可约化为 Painlevé VI 方程的 Okamoto sigma 形式。对两因子与四因子情形，我们发现 Painlevé VI 方程 Okamoto sigma 形式上存在一族带一个参数的边界条件，将关联函数 C(M,N) 的因式分解推广到对应 Okamoto sigma 形式 sigma 解的可加分解，我们称之为 lambda 扩展。在参数的一个特殊值处，C(M,N) 因子的 lambda 扩展退化为第一类与第二类完全椭圆函数的齐次多项式。我们还将某些 Tracy-Widom（Painlevé V）关于 sigma 和与差的关系推广到该 Painlevé VI 框架。