Eikonal 方程熵产生的分解与正则性

Eikonal 方程自然出现在二阶 Aviles-Giga 泛函的极限中，其后者的 $\Gamma$-收敛是一个长期存在的挑战性问题。Eikonal 方程的熵解理论在该问题的变分分析中起着核心作用。建立 Eikonal 方程熵解的精细结构，例如二维中熵测度在 $\mathcal{H}^1$-可求长集上的集中，可以说是证明 Aviles-Giga 泛函完全 $\Gamma$-收敛所缺失的关键部分。在本文的第一部分，对 $p\in \left(1,\frac{4}{3}\right]$ 我们建立了 Ghiraldin 与 Lamy [Comm. Pure Appl. Math. 73 (2020), no. 2, 317-349] 主要定理的 $L^p$ 版本。具体而言，我们证明若 $m$ 是 Eikonal 方程的解，则 $m\in B^{\frac{1}{3}}_{3p,\infty,loc}$ 等价于 $m$ 的所有熵产生均属于 $L^p_{loc}$。该结果还表明，作为 Aviles-Giga 猜想的一种弱形式（即猜想所有熵产生属于 $L^p_{loc}$ 的 Eikonal 方程解均为刚性解）的推论，Eikonal 方程的刚性/柔性阈值恰为空间 $B^{\frac{1}{3}}_{3,\infty,loc}$。在本文第二部分，在所有熵产生均属于 $L^p_{loc}$ 的假设下，我们基于两个 Jin-Kohn 熵建立了 Eikonal 方程解的熵产生的分解公式。该公式的一个推论是在 $L^p$ 设定下由 Jin-Kohn 熵控制所有熵产生——这是对作者早期结果 [Annales de l'Institut Henri Poincar\'{e}. Analyse Non Lin\'{e}aire 35 (2018), no. 2, 481-516] 的有力推广。