关于广义Aviles-Giga泛函：紧致性、零能量态、正则性估计与能量界

给定$\mathbb{R}^2$上任意严格凸范数$\|\cdot\|$，其在$\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$为$C^1$，我们研究广义Aviles-Giga泛函$$I_{\epsilon}(m):=\int_{\Omega} \left(\epsilon \left|\nabla m\right|^2 + \frac{1}{\epsilon}\left(1-\|m\|^2\right)^2\right) \, dx,$$，其中$\Omega\subset\mathbb R^2$，$m\colon\Omega\to\mathbb R^2$满足$\nabla\cdot m=0$。如同欧氏情形$\|\cdot\|=|\cdot|$那样，利用极限方程$\|m\|=1$、$\nabla\cdot m=0$的熵概念，我们得到如下结果。首先，我们证明有界能量序列在$L^p$中的紧致性。其次，我们证明零能量态（消失能量序列的极限）的刚性，推广并简化了Bochard和Pegon的结果。第三，我们根据熵产生获得有界能量序列极限的最优正则性估计。第四，在极限映射属于$BV$的情形下，我们证明由熵产生给出的下界与由一维过渡剖面给出的上界同阶。前两点类似于欧氏情形$\|\cdot\|=|\cdot|$中已知的结论，后两点对范数$\|\cdot\|$的各向异性敏感。