关于具有 $L^p$ 熵产生的 Aviles-Giga 极限状态

Aviles-Giga 能量提供了一列收敛到 eikonal 方程弱解的映射序列 $m\colon\Omega \subset\mathbb R^2\to\mathbb R^2$，其熵产生 $\mathrm{div}\,\Phi(m)$ 是 $\Omega$ 中的 Radon 测度，由能量控制。此处，熵均为 $C^2$ 向量场 $\Phi\colon\mathbb S^1\to\mathbb R^2$，满足对任意光滑解 $m_*$ 有 $\mathrm{div}\,\Phi(m_*)=0$。猜想熵产生测度集中在 $m$ 的一维跳跃集上，这由链式法则在 $m$ 有界变差时得出。特别地，当熵产生测度与 $L^p$ 函数重合时，它们应该消失——这正是我们在 $p$ 不太小且在自然边界条件下所证明的。