$\mathbb{F}_p$ 在局部上类似于 $\mathbb{C}$

Vu、Wood 和 Wood 证明了特征为零的整环中的任何有限集 $S$ 都可以映射到 $\mathbb{F}_p$（对于无穷多个素数 $p$），同时保持 $S$ 的有限多个代数重合关系。本文证明了其逆命题在本质上也是成立的，即 $\mathbb{F}_p$ 的任何小子集都可以映射到 $\mathbb{Q}$ 的某个有限代数扩张，同时保持有界的代数关系。这回答了 Vu、Wood 和 Wood 提出的一个问题。我们给出了若干应用，特别是证明了对于 $\mathbb{F}_p$ 的小子集，Szemer\'edi-Trotter 定理以最优指数 $4/3$ 成立，并且改进了 $\mathbb{F}_p$ 中此前已知的最佳和积估计。我们还给出了该结果在 R\'enyi 的一个古老问题上的应用。主要结果的证明是消元理论的一个应用，其精神与定量 Hilbert 零点定理的证明相似。