Jacobi 系综的极值特征值分布：新的精确表示、渐近性与有限尺寸修正

设 $\mathbf{W}_1$ 和 $\mathbf{W}_2$ 为独立的 $n\times n$ 复中心 Wishart 矩阵，其自由度分别为 $m_1$ 和 $m_2$。本文研究双 Wishart 矩阵 $(\mathbf{W}_1+\mathbf{W}_2)^{-1}\mathbf{W}_1$ 的极值特征值分布，其类似于 F 矩阵 ${\bf W}_1 {\bf W}_2^{-1}$ 以及 Jacobi 酉系综（JUE）的相应分布。定义 $\alpha_1=m_1-n$ 和 $\alpha_2=m_2-n$，我们推导了以 $(\alpha_1+\alpha_2)$ 维矩阵行列式表示的新精确分布公式，其元素涉及 Legendre 多项式的导数。这提供了一种方便的精确表示，同时便于在 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 固定下直接进行大-$n$ 分析（即所谓的“硬边”缩放极限）；该分析基于本文建立的 Legendre 多项式的新渐近性质及其与 Bessel 函数的关系。具体而言，我们给出了当 $n \to \infty$ 时最小和最大特征值分布的极限公式，分别用 $\alpha_1$ 维和 $\alpha_2$ 维行列式表示，这与涉及 JUE 和 Laguerre 酉系综（LUE）的已知普适性结果相符。我们还推导了硬边缩放下渐近极值特征值分布的有限-$n$ 修正，通过与近期为 LUE 推导的相应修正项比较，给出了关于普适性的新见解。我们的推导基于初等代数操作，不同于双 Wishart 及相关模型的现有结果——后者常涉及 Fredholm 行列式、Painlevé 微分方程或矩阵变元的超几何函数。