二阶例外 $X_1$-Jacobi 微分表达式及相关非经典 Jacobi 微分表达式的谱研究

例外 $X_{1}$-Jacobi 微分表达式是具有有理系数的二阶常微分表达式；由 G\'{o}mez-Ullate, Kamran 和 Milson 于 2009 年发现。在他们的工作中，他们证明了存在一个多项式特征函数序列 $\left\{\widehat{P} _{n}^{(\alpha,\beta)}\right\}_{n=1}^{\infty}$，称为例外 $X_{1}$-Jacobi 多项式。不存在零次的例外 $X_{1}$-Jacobi 多项式。这些多项式在加权 Hilbert 空间 $L^{2}((-1,1);\widehat{w}_{\alpha,\beta})$ 中构成一个完整的正交集，其中 $\widehat{w}_{\alpha,\beta}$ 是与经典 Jacobi 权相关的正有理权函数。在对参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 施加的其他条件中，要求 $\alpha,\beta>0$。在本文中，我们发展了该表达式在 $L^{2}((-1,1);\widehat{w}_{\alpha,\beta})$ 中的谱理论。我们还考虑了“极端”非例外情况的谱分析，即 $\alpha=0$ 的情况。在这种情况下，多项式解为非经典 Jacobi 多项式 $\left\{ P_{n}^{(-2,\beta)}\right\} _{n=2}^{\infty}$。我们在多个 Hilbert 空间中研究了相应的 Jacobi 微分表达式，包括它们的自然 $L^{2}$ 环境以及某个 Sobolev 空间 $S$，在后者中研究了完整序列 $\left\{ P_{n}^{(-2,\beta)}\right\} _{n=0}^{\infty}$ 并对 Jacobi 表达式进行了细致的谱分析。