极值性与动力学定义测度，第一部分：拟衰减测度的丢番图性质

我们提出了一种证明各类动力学定义测度具有丢番图极值性的新方法，极大地扩展了已知为极值的测度类别。这推广并改进了 Kleinbock 和 Margulis ('98) 解决 Sprind\v{z}uk 猜想的著名定理，以及 Kleinbock、Lindenstrauss 和 Weiss ('04) 对其的扩展（以下简称 KLW）。作为应用，我们证明了具有足够大 Hausdorff 维数的光滑动力系统的所有双曲测度，以及所有非平面几何有限群的 Patterson--Sullivan 测度的极值性。导致大量新应用的关键技术思想是对 KLW 极值性充分条件的显著弱化。在第一部分中，我们引入并系统阐述了两类测度，称为$拟衰减$和$弱拟衰减$测度。我们证明了弱拟衰减性蕴含矩阵逼近框架下的强极值性（该框架近年来备受关注），从而证明了 KLW 的一个猜想。我们还证明了该定理的“继承无理指数”版本，描述了矩阵空间某些子空间的丢番图性质与支持在这些子空间上的测度之间的关系。在后续论文中，我们将展示大量拟衰减测度的例子，以支持“来自动力系统和/或分形几何的几乎所有测度都是拟衰减的”这一论点。除了上述例子外，我们还证明（例如）无限迭代函数系统的 Gibbs 测度（包括共形测度）是拟衰减的，即使相关系统不满足开集条件。我们还讨论了来自动力学的非极值测度的例子，说明了理论的界限所在。