周期薛定谔算符的极值谱隙

具有周期势的薛定谔算符的谱一般由能带和能隙组成。在本文中，对固定的 m，我们考虑在具有固定周期性且逐点有上下界的势类上，最大化第 m 个谱隙与中隙之比的问题。我们证明使第 m 个隙中比最大的势存在。在一维情形，我们证明最优势在定义域中几乎处处达到逐点边界，并且是一个在恰好 m 个区间上取所施加最小值和最大值的阶跃函数。使用重排算法对最优势进行了数值计算，并观察到它们是周期的。在二维情形，我们基于半定规划公式发展了该问题的高效重排方法，并应用其研究极值势的性质。我们证明，在关于最大化子成立的几何假设下，圆盘晶格在无限对比度极限下最大化第一个隙中比。利用二维 Bravais 晶格的显式参数化，我们还考虑了最优值如何在所有等体积晶格上变化。