复 Ginzburg-Landau 方程的广延性质

我们研究复 Ginzburg-Landau 方程在 $\real^d, d<3$ 中的解集。我们考虑全局吸引集（即有界初始数据集合的前向映射），并将其限制在边长为 $L$ 的立方体 $Q_L$ 上。我们用 $\Linfty(Q_L)$ 中半径为 $\epsilon$ 的球对该集合进行覆盖，覆盖所需的最少球数为 $N_{Q_L}(\epsilon)$。我们证明 Kolmogorov $\epsilon$-熵每单位长度 $H_\epsilon =\lim_{L\to\infty} L^{-d} \log N_{Q_L}(\epsilon)$ 存在。特别地，我们得到 $H_\epsilon$ 的上界为 $\OO(\log(1/\epsilon))$，这表明吸引集小于带状区域中有界解析函数的集合。最后我们给出一个正的下界：$H_\epsilon>\OO(\log(1/\epsilon))$。