从广义Drinfeld-Sokolov约化得到的矩阵Gelfand-Dickey层次的扩展

$p\times p$矩阵版本的$r$-KdV层次最近被处理为在Lie代数$\widehat{gl}_{pr}\otimes {\Complex}[\lambda, \lambda^{-1}]$的对偶中的Poisson子流形上应用Drinfeld-Sokolov型哈密顿对称约化而产生的约化系统。本文通过广义Drinfeld-Sokolov约化,针对Lie代数$\widehat{gl}_{pr+s}\otimes {\Complex}[\lambda,\lambda^{-1}]$,利用自然嵌入$gl_{pr}\subset gl_{pr+s}$(其中$s$为任意正整数),推导出该矩阵Gelfand-Dickey系统的一系列扩展。所获得的层次可以用一个$p\times p$矩阵伪微分算子来描述,该算子包含一个$r$-KdV类型的正部和一个非平凡的负部。该系统在$p=1$的情况下曾作为约束KP系统被研究过。本文显著扩展了先前的结果,并在Drinfeld-Sokolov方法的基础上进行了系统性研究,该方法的优点是能导出局域Poisson括号,并阐明与KdV型层次相关的共形($\cal W$-代数)结构。文中还讨论了离散约化和扩展$r$-KdV层次的修正版本。