离散时序动力系统峰值分析的 $\mathcal{KL}$ 与 Lyapunov 函数扩展

本文扩展了两个用于渐近稳定性分析的函数类。这种扩展旨在研究离散时序动力系统可达值的最大化问题。这个特定的最大化问题称为峰值计算问题。问题在于找到由初始状态和时间组成的对，以最大化给定函数在状态上的最大值。本文聚焦于解的最优时间分量，该分量是整数，因为时间是离散的。我们应用之前论文中developed的方法来计算实数序列最大指数求值的上界。该方法基于一对严格单调连续函数定义于 [0,1] 区间和收敛几何级数，提供所分析序列的上界。该对存在且已被证明。然而，在一般情况下，计算无法实现。在本文中，我们发展了两种替代方法。第一种方法使用不连续且非严格单调/递减的 KL 类函数。我们证明了 KL 类上界的存在等价于严格单调连续函数定义于 [0,1] 区间和收敛几何级数的存在。从 KL 类函数构造严格单调连续函数需要对著名的 Sontag 引理进行扩展。最后，我们构建一种适用于峰值计算问题的新型 Lyapunov 函数。这些 Lyapunov 类函数非常合适，因为我们建立了存在 Lyapunov 类函数等价于严格单调连续函数定义于 [0,1] 区间和收敛几何级数存在的等价定理。Lyapunov 类函数的构造灵感来自 Yoshizawa 对 Lyapunov 函数的构造方法。