第一混合体积向非凸集的推广

我们研究了非凸集的第一混合体积，并将结果应用于离散等周问题的极限。设 $M,N \subset \mathbb{R}^d$。当极限存在时，定义 $D_N (M)=\lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{|M+\epsilon N|-|M|}{\epsilon}$。我们的主要结果表明，对于具有分段 $C^1$ 边界的紧致域 $M \subset \mathbb{R}^d$ 和有界集 $N \subset \mathbb{R}^d$，$D_N(M)=D_{\text{conv}(N)}(M)$ 且 $D_N(M)=\int_{\text{bd }M} h_N(u_M(x)) \, d \mathcal{H}^{d-1}(x)$。