用多项式方程组与零点定理表示组合优化问题
组合数学
2007-06-06 v1 代数几何
摘要
复数或实数域上的多项式方程组可用于对组合问题建模。如此，一个组合问题是可行的（例如一个图是 3-可着色的、哈密顿的，等等），当且仅当一个相关的多项式方程组有解。在本文的第一部分，我们为下列问题构造了新的多项式编码：在图中寻找最长圈、最大平面子图、边色数，或最大 -可着色子图。对于一个不可行的多项式系统，（复数域的）Hilbert 零点定理给出该组合问题不可行的证书。因此，除非 P = NP，对每个困难的组合问题必然存在一个不可行实例的无限序列，使得对应多项式系统的 Hilbert 零点定理证书的最小次数趋于增长。我们证明，关于图中不存在大于其稳定数大小的稳定集的零点定理证书的最小次数即为图的稳定数。此外，这样的证书对 的每个稳定集至少包含一项。相比之下，对于非 3-可着色性，我们仅发现了具有四次零点定理证书的图。
引用
@article{arxiv.0706.0578,
title = {Expressing Combinatorial Optimization Problems by Systems of Polynomial Equations and the Nullstellensatz},
author = {J. A. De Loera and J. Lee and S. Margulies and S. Onn},
journal= {arXiv preprint arXiv:0706.0578},
year = {2007}
}