计算二次少项方程组不一致性的小证书

贝祖定理指出，在代数闭域上，n 个变量的 n 个多元二次方程的稠密泛型系统有 2^n 个解。当方程中仅出现单项式的一个小子集 M 时（少项系统），解的数量可能急剧减少。我们在本工作中关注这样的二次单项式子集 M，使得支撑为 M 的泛型系统根本不容许任何解。对于这些系统，希尔伯特零点定理保证了不一致性的代数证书的存在性。然而，据我们所知，此类证书大小的所有已知界——包括那些考虑多项式牛顿多胞形的界——在 n 上都是指数的。我们的主要结果表明，如果不等式 2|M| - 2n $\le$ $\sqrt{1 + 8\nu} - 1$ 对某个二次少项系统成立——其中 $\nu$ 是与 M 相关联的图的匹配数，|M| 是 M 的基数——则通常存在一个线性大小的不一致性证书（以基域 K 中系数的数量衡量）。此外，该证书可在多项式数量的算术运算内计算出来。接下来，我们评估该不等式成立的频繁程度，并给出证据表明不等式成立的概率强烈依赖于平方项的个数。更确切地说，我们证明如果 M 是从包含至少 $\Omega(n^{1/2+\epsilon})$ 个平方项的 n + k + 1 个二次单项式的子集中均匀随机选取的，则不等式成立的概率随 n 增长趋于 1。有趣的是，这一现象与埃尔德什-雷尼模型中随机图的匹配数有关。最后，我们提供实验结果表明，对于具有超过 10000 个变量和方程的系统可以计算出不一致性证书。