某些台球桌中长度谱的指数小渐近公式

设 $q \ge 3$ 为一个周期。在任何光滑严格凸台球桌内至少存在两条 $(1,q)$-周期轨迹，且当台球桌为椭圆或圆时它们长度均相同。我们通过研究轴对称台球桌在其边界附近的轴对称 $(1,q)$-周期轨迹长度之差的渐近行为（当 $q \to +\infty$ 时）来量化其混沌动力学。基于数值实验，我们猜想：若台球桌是一条通用的轴对称解析严格凸曲线，则这些差值的渐近行为类似于一个指数小因子 $q^{-3} e^{-r q}$ 乘以一个常数或振荡函数，且指数 $r$ 是著名的 $(1,q)$-周期轨迹长度渐近级数的 Borel 变换收敛半径的一半。我们的实验限于一些微扰椭圆和圆，这使得我们能将数值结果与通过 Melnikov 方法得到的某些解析预测进行比较，并检测出由于额外对称性存在而导致的一些非通用行为。我们的计算需要多精度算术，并已用 PARI/GP 编程实现。