具有多项式系数的四阶 Sturm-Liouville 问题泛函-离散方法的指数收敛符号算法

针对 Hilbert 空间上有限区间四阶 Sturm--Liouville 问题的求解，开发并论证了一种泛函-离散（FD-）方法的新符号算法实现。研究了具有多项式系数的四阶常微分方程特征值问题。给出了所提方法指数收敛速度的充分条件。所获得的 FD 方法绝对误差估计显著改进了 I.P~Gavrilyuk、V.L.~Makarov 和 A.M.~Popov 在 2010 年得到的估计精度。我们的算法是符号化的，并在某组基下对特征函数修正的分解系数进行运算。这些分解中的求和项数目取决于势系数的次数与修正序号。我们的方法仅使用代数运算以及对 $(2\times 1)$ 列向量与 $(2\times 2)$ 矩阵的基本运算。与 I.P.~Gavrilyuk、V.L.~Makarov、A.M.~Popov 和 N.M.~Romaniuk 在 2010 和 2017 年提出的先前 FD 方法变体不同，所提方法无需求解任何边值问题及计算任何积分。特征对修正被精确计算为解析表达式，且无舍入误差。数值例子说明了理论结果。将 FD 方法所得数值结果与现有其他数值技术所得数值试验结果进行了比较。