二维 Allen-Cahn 方程在小噪声下的指数记忆丧失
概率论
2018-08-14 v1
摘要
我们证明了一个受小时空白噪声扰动的二维 Allen–Cahn 方程的渐近耦合定理。我们表明，以压倒性概率，两个起始接近确定性系统势函数极小元的构型会在合适拓扑下指数快速地收缩。在一维情形中，类似结果见于 \cite{MS88,MOS89}。众所周知，在多于一个维度时该方程的解取值为分布，且方程须以重正化意义理解。形式上，此重正化对应于将势的极小点移至无穷远并使其无限深。我们表明，尽管有此重正化，解仍表现为无重正化确定性系统的扰动：它们在长时间段内接近（未重正化）势的极小点，且不同构型的指数收缩率由势在这些点的二阶导数给出。作为应用，我们证明了在固定初始条件下确定性系统稳定解之间转移时间的 Eyring–Kramers 律。
引用
@article{arxiv.1808.04171,
title = {Exponential loss of memory for the 2-dimensional Allen-Cahn equation with small noise},
author = {Pavlos Tsatsoulis and Hendrik Weber},
journal= {arXiv preprint arXiv:1808.04171},
year = {2018}
}
备注
44 pages, 3 figures