马尔可夫半群上矩阵$\Phi$-熵的指数衰减及其在量子系综动力学演化中的应用

在马尔可夫过程研究中，主要成就之一是$\Phi$-Sobolev不等式与$\Phi$-熵指数衰减的等价性。本工作中，我们发展了矩阵值函数上马尔可夫半群的一个框架，并将上述等价性推广到矩阵$\Phi$-熵的指数衰减。该结果也特化为随机矩阵环境下的谱间隙不等式与修正对数Sobolev不等式。为建立主要结果，我们定义了carré du champ算子的非交换推广，并证明了矩阵值函数的de Bruijn恒等式。所提出的作用于矩阵值函数的马尔可夫半群在量子系综动力学演化的表征中有直接应用。我们考虑量子保单位通道的两种特例，即去极化通道和相位阻尼通道。前者由于存在唯一平衡态，我们表明所得量子系综的矩阵$\Phi$-熵随时间指数衰减。因此，我们得到了Holevo量单调性的更强概念——量子系综的Holevo量随时间指数衰减，收敛速率由修正对数Sobolev不等式决定。然而，后者中经历相位阻尼马尔可夫演化的量子系综的矩阵$\Phi$-熵一般不会指数衰减。这是因为此类通道存在多个平衡态。最后，我们还考虑了矩阵值函数上马尔可夫半群统计混合的例子。我们能显式计算定义在布尔超立方体上的马尔可夫跳跃过程的收敛速率，并提供此类例子混合时间的上界。