边加权 Cayley 图与 p 元 bent 函数的探索

设 $f$ 为从 $GF(p)$ 上的 $n$ 维向量空间映射到 $GF(p)$ 的函数。当 $p=2$ 时，Bernasconi 等人已证明 $f$ 的某些性质（例如其是否为 bent 函数）与其关联的 Cayley 图的性质之间存在对应关系。类似地，但时间更早，Dillon 证明了当且仅当 $f$ 的“等值线”具有某些组合性质时，$f$ 是 bent 函数（同样仅限 $p=2$ 的情况）。本文试图利用（看似新的）加权偏差集这一组合概念，研究 $p>2$ 时的类似理论。更确切地说，我们试图探究 $f$ 的 Cayley 图的哪些性质可以用 $f$ 的函数论性质来刻画，以及 $f$ 的哪些函数论性质对应于“等值线”集合（即 $f$ 的逆映射）的组合性质。虽然 Bernasconi 对应和 Dillon 对应自然的推广在一般情况下并不成立，但通过广泛的计算，我们能够在一些小规模情形下确定分类。我们的主要猜想是猜想 67。