$m$ 元函数的敏感性与 Hamming 图的低度划分

对布尔函数复杂性度量的研究促使 Nisan 和 Szegedy 于 1994 年提出了敏感性猜想，声称度与敏感性之间存在多项式关系。该问题直到 2019 年才被解决，当时 Huang 通过 Gotsman 和 Linial 提出的等价图论重构证明了该猜想。我们研究了 $m$ 元函数，即函数 $f: T^n \rightarrow T$，其中 $T\subseteq \mathbb{C}$ 是基数为 $|T| = m$ 的有限字母表，将度 $\mathrm{deg}(f)$ 和敏感性 $s(f)$ 的概念扩展到 $m$ 元函数，并证明了 $s(f)\in O(\mathrm{deg}(f)^2)$。这推广了 Nisan 和 Szegedy 的结果。反之，我们引入了 $m$ 元敏感性猜想，声称 $\mathrm{deg}(f)$ 关于 $s(f)$ 存在多项式上界。类似于 Gotsman 和 Linial 的结果，我们基于将 Hamming 图划分为低度子图的不平衡划分给出了该猜想的表述。结合 Chung、F"uredi、Graham 和 Seymour 的思想，我们证明了对于任意素数 $p$，$p$ 元敏感性猜想中的界限至少必须是二次的：存在度任意大且 $\mathrm{deg}(f)\in \Omega(s(f)^2)$ 的 $p$ 元函数 $f$。