敏感性猜想的格点变体

敏感性猜想于 1994 年提出，指出布尔函数 $f$ 的两个基本度量——敏感性 $s(f)$ 和块敏感性 $bs(f)$ ——是多项式相关的。已知 $bs(f)$ 与计算机科学中的重要度量（包括决策树深度、多项式次数和 $f$ 的并行 RAM 计算时间）是多项式相关的，但关于敏感性的比较知之甚少；$s(f)$ 与 $bs(f)$ 之间的间隔至少是二次的，至多是指数的。我们分析了 Aaronson 提出的一个有希望的变体，该变体蕴含敏感性猜想，指出对于 $d$ 维格点 $\mathbb{Z}^d$ 的所有二染色，$d$ 与敏感性 $s(C)$ 是多项式相关的，其中 $s(C)$ 是一个点的不同颜色邻居的最大数量。我们构造了一种染色方案，实现了 $d$ 与 $s(C)$ 之间目前已知的最大间隔，其中 $d=O(s(C)^2)$，并证明了该方案对于一大类染色是最优的。我们还给出了从格点变体到敏感性猜想的反向归约，并利用此证明了 $s(C)$ 的第一个非常数下界。这些结果表明，格点变体有助于推动敏感性猜想研究的有限进展。