循环余数集的显式代表与大小及其关于有限域上循环码的应用

循环余数集是有限域理论中的一个经典概念，在各种计算问题中具有广泛应用。设 $q$ 为一个素幂，$n$ 为与 $q$ 互素的正整数。本文在一般情形下明确确定所有 $q$-循环余数集模 $n$ 的代表与大小。我们引入 $2$-进制循环系统的定义，这是一个由特定相容循环余数序列组成的完备空间。给出 $2$-进制循环系统结构的精确描述，这揭示了循环余数集代表的通用公式。有了关于 $q$-循环余数集模 $n$ 的代表与大小，我们改进了 \cite{Graner} 中关于 $X^{n}-1$ 和 $\Phi_{n}(X)$ 在 $\mathbb{F}_{q}$ 上的因式分解公式。作为结果，我们通过给出循环码的生成多项式来分类有限域上的循环码。此外，还确定并枚举了自双循环码。