Strebel 微分的显式例子

设 X 为某个黎曼曲面，ω 为 X 上的亚纯二次微分形式，即在局部坐标下可写为 f(z) dz^2，其中 f 为某个亚纯函数。若对于 I 中的每个 t，有 f(γ(t)) (γ'(t))^2 为实数且为正，则称曲线 γ 是 ω 的水平叶的一部分。若 ω 的非紧致水平叶构成一个零测集，则称该微分为 Strebel 微分。现在，任意给定黎曼曲面上的大多数二次微分形式都不是 Strebel 的（事实上，作为射影直线上所有二次微分空间的一个子集，射影直线上的 Strebel 微分空间是复平面中实直线的可数并集）。因此，本文专注于写出 Strebel 微分的显式例子。大多数讨论 Strebel 微分的论文似乎都聚焦于那些仅具有二阶极点的微分，因为它们定义了 X 上的一个胞腔分解。然而，我们构造了一个显式的全纯 Strebel 微分族，定义在任何以 0、1、∞ 和 1/2 + ir（对于任意实数 r）为分支点的超椭圆曲线上。随后，我们考察了先前一篇论文中的一个例子，其中 ω 是一个代数 Strebel 微分，具有整数留数，定义在有理数代数闭包上的黎曼曲面 X 上，且具有一个超越周期。然后我们修改这个例子，得到另一个代数 Strebel 微分 ω'，定义在代数黎曼曲面 X' 上，其所有周期都是超越的。