有限域上奇异完全交有理点数的显式估计

设 $V\subset\mathbb{P}^n(\overline{F}_{\hskip-0.7mm q})$ 是定义在有限域 $F_{\hskip-0.7mm q}$ 上的完全交，其维数为 $r$，奇异 locus 的维数至多为 $0\le s\le r-2$。我们获得了 Hooley--Katz 估计 $||V(F_{\hskip-0.7mm q})|-p_r|=\mathcal{O}(q^{(r+s+1)/2})$ 的显式版本，其中 $|V(F_{\hskip-0.7mm q})|$ 表示 $V$ 的 $F_{\hskip-0.7mm q}$-有理点数，$p_r:=|\mathbb{P}^r(F_{\hskip-0.7mm q})|$。我们的估计在几个重要情形下改进了所有先前的估计。我们的方法依赖于经典代数几何的工具。一个关键要素是 Bertini 光滑性定理的一个新的有效版本，即 $(\mathbb P^{n})^{s+1}(\overline{F}_{\hskip-0.7mm q})$ 中一个适当 Zariski 闭子集的次数的显式上界，该子集包含了 $V$ 的所有余维数为 $s+1$ 的奇异线性截面。