全不连通局部紧群的扩张自同构

我们研究全不连通局部紧群 $G$ 的自同构 $\alpha$，其在如下意义下是扩张的：存在单位元邻域 $U$，使得集合 $\alpha^n(U)$（对于整数 $n$）的交集为平凡群。值得注意的是，我们证明了对于 $G$ 的 $\alpha$ 稳定闭正规子群 $N$，由 $\alpha$ 诱导的 $G/N$ 上的自同构总是扩张的。进一步的结果涉及相关的收缩群 $U_\alpha$，其由 $G$ 中所有满足当 $n$ 趋于无穷大时 $\alpha^n(x) \to e$ 的元素 $x$ 组成。如果 $\alpha$ 是扩张的，则 $W := U_\alpha U_{\alpha^{-1}}$ 是 $G$ 中的一个开单位元邻域。我们给出了 $W$ 不是子群的例子。然而，只要 $G$ 是 $p$ 进数上一般线性群的闭子群，$W$ 就是一个幂零开子群。其他结果致力于 $U_\alpha$ 的可除部分和挠部分，以及扩张自同构 $\alpha$ 的所谓“核”$U_0$（即 $U_\alpha$ 和 $U_{\alpha^{-1}}$ 的闭包的交集）。