三维流形上对易向量场公共零点的存在性 II：解决全局困难

我们探讨了关于三维空间中对易向量场公共零点存在性的以下猜想：如果 $X,Y$ 是三维流形 $M$ 上的两个 $C^1$ 对易向量场，且 $U$ 是一个相对紧开集，使得 $X$ 在 $U$ 的边界上不为零且在 $U$ 内具有非零的 Poincaré-Hopf 指标，则 $X$ 和 $Y$ 在 $U$ 内有一个公共零点。我们在 $X$ 和 $Y$ 为 $C^3$ 类且 $Y$ 的每一条与 $X$ 共线的周期轨道都是部分双曲的情况下证明了这一猜想。我们还在 $C^3$ 条件下证明了该猜想，假设流 $Y$ 保持一个横截平面场不变。这些结果为该猜想的 $C^3$ 情况带来了新的启示。