Y-系统与 TBA 方程解的存在性与唯一性

我们考虑形式为 $$Y_n(x+i)Y_n(x-i)=\prod_{m=1}^N (1+Y_m(x))^{G_{nm}}$$ 的 Y-系统函数方程及其对应的热力学 Bethe Ansatz (TBA) 非线性积分方程。我们在对 $Y_n$ 的解析性质施加适当条件（特别是实轴周围带状区域内无零点）的情况下，证明了这些方程解的存在性和唯一性。矩阵 $G_{nm}$ 必须具有非负实元素，且在 $\mathbb{R}$ 上不可约并可对角化，其谱半径小于 2。这包括了有限 Dynkin 图的邻接矩阵，但覆盖范围更广，因为我们不要求 $G_{nm}$ 为整数。我们的结果可特化为常数 Y-系统，证明了在该情况下严格正解的存在性和唯一性。