带扭曲的 Exel-Pardo 代数

Katsura 将 $C^*$-代数 $C^*_{A,B}$ 关联到同阶非负整数矩阵 $A\ge 0$ 与矩阵 $B$,给出了使之为单纯无限 (SPI) 的 $(A,B)$ 的充分条件,并证明了任何与 Kasparov 的 $KK$ 中某元素 $\xi\in KK(C(S^1)^n,C(S^1)^n)$ 的锥 $KK$-同构的可分 $C^*$-代数,都 $KK$-同构于某个 SPI $C^*_{A,B}$。本文中,对于给定的交换环 $\ell$、上述同阶矩阵 $A,B$ 以及系数取自可逆元群 $\mathcal{U}(\ell)$ 的同阶矩阵 $C$,我们引入 $\ell$-代数 $\mathcal{O}_{A,B}^C$,即三元组 $(A,B,C)$ 的扭曲 Katsura 代数,证明当 $\ell\supset\mathbb{Q}$ 为域且 $(A,B)$ 满足 Katsura 条件时其为 SPI,并且任何作为双变代数 $K$-理论范畴 $kk$ 中映射 $\xi\in kk(\ell[t,t^{-1}]^n,\ell[t,t^{-1}]^n)$ 的锥的 $\ell$-代数都 $kk$-同构于某个 SPI $\mathcal{O}_{A,B}^C$。扭曲 Katsura $\ell$-代数是关联到作用于图 $E$ 的群 $G$、以及 $1$-闭上链 $\phi:G\times E^1\to G$ 与 $c:G\times E^1\to \mathcal{U}(\ell)$ 的扭曲 Exel-Pardo 代数 $L(G,E,\phi_c)$。我们通过生成元与关系、作为扭曲半群代数的商、作为扭曲 Steinberg 代数、作为角斜 Laurent 多项式代数,以及作为张量代数的泛局部化来描述 $L(G,E,\phi_c)$。我们利用 $L(G,E,\phi_c)$ 的这些不同面貌来研究其 $K$-理论、正则性与单性。例如我们证明:若 $\ell\supset \mathbb{Q}$ 为域,$G$ 与 $E$ 可数且 $E$ 正则,则只要 Exel-Pardo $C^*$-代数 $C^*(G,E,\phi)$ 是单的,$L(G,E,\phi_c)$ 便是单的;若此外 Leavitt 路径代数 $L(E)$ 为 SPI,则其亦为 SPI。