稀释A$_3$模型的例外结构：E$_8$与E$_7$ Rogers--Ramanujan恒等式

区域2中的稀释A$_3$晶格模型属于磁场中伊辛模型的普适类。我们在此直接确立了该区域中稀释A$_3$模型存在E$_8$结构，方法是将一维构型求和表示为显式涉及E$_8$根系费米子求和。在热力学极限下，这些多项式恒等式证明了最近由Kedem等人猜想的E$_8$ Rogers--Ramanujan恒等式。这些多项式恒等式也适用于区域3，该区域通过模参数变换$q\to 1/q$获得。在此情形下，我们发现了A$_1\times\mbox{E}_7$结构，并证明了A$_1\times\mbox{E}_7$类型的Rogers--Ramanujan恒等式。最后，在临界$q\to 1$极限下，我们给出了A$_3$ Dynkin图上带“tadpole”的$L$步路径数的一些有趣表达式，这些表达式涉及E$_8$ Cartan矩阵。我们所有的发现都证实了最近通过热力学贝特假设发现的稀释A$_3$模型的E$_8$和E$_7$结构。