平稳高斯过程任意水平越跨的精确方差与 Fano 因子

理解随机过程中水平越跨的统计特性在众多科学领域都至关重要。传统的 Kac-Rice 公式给出水平越跨的平均速率，已被广泛应用。然而，仅凭平均速率无法完整概括越跨过程的细节。它完全依赖于随机过程在特定时刻的局部性质，因而无法洞察过程随时间的相关结构。若要了解越跨事件（如神经元放电）是否在时间上聚集、稀疏化，或呈现更复杂的时序组织，必须超越平均速率，研究更高阶的越跨统计。本文通过推导平稳高斯过程任意水平越跨的方差和 Fano 因子的解析公式，超越平均值。我们的精确解揭示了完整时序相关结构如何决定越跨是聚集还是规律化。在具有振荡相关性的系统中（如阻尼谐振子），一次越跨会抑制随后立即的一次越cross，从而产生亚泊松统计。然而，随着阻尼增大且振荡消失，一次大幅度的阈值以上跌幅可能导致多个 closely spaced 的越cross，产生超泊松统计。在纯放松型、非振荡系统中（如以 Ornstein-Uhlenbeck 噪声驱动的均值回归过程），驱动噪声与系统放松的时刻尺度之间的竞争导致更丰富的格局，包括在阈值水平变化时在亚泊松与超泊松统计之间出现反向转变。综上所述，本文推导的精确方差和 Fano 因子补充了 Kac-Rice 平均速率，使得在任何采用高斯过程的情境下进行更稳健的参数估计和模型选择成为可能。