玻尔兹曼方程的精确稳态解：一个受驱动的 1 维非弹性 Maxwell 气体

Ben-Naim 和 Krapivsky [Phys. Rev. E 61, R5 (2000)] 以无穷乘积形式得到了受驱动的非弹性 Maxwell 模型的非平衡稳态解的傅里叶变换形式 $f(c)$。本文对傅里叶变换进行逆变换，将 $f(c)$ 表示为指数衰减项的无穷级数形式。占主导地位的高能尾部是指数型的，$f(c)\simeq A_0\exp(-a|c|)$，其中 $a\equiv 2/\sqrt{1-\alpha^2}$，振幅 $A_0$ 以收敛求和形式给出。这在完全非弹性极限 ($\alpha\to 0$) 和准弹性极限 ($\alpha\to 1$) 中被显式给出。在后者情况下，分布在非常宽的速度范围内由 Maxwelli 分布主导，但在速度 $|c-c_0|\sim 1/\sqrt{q}$ 处存在从 Maxwelli 分布向指数高能尾的交叉，交叉速度 $c_0\simeq \ln q^{-1}/\sqrt{q}$，其中 $q\equiv (1-\alpha)/2\ll 1$。在交叉区域，分布函数极小，$\ln f(c_0)\simeq q^{-1}\ln q$。