通过 KP 层次结构实现 $\beta=L^2$ 随机矩阵ensemble的精确可解性

具有 Dyson 指数 $\beta=L^{2}$ 的随机矩阵ensemble描述了由 $M$ 个电荷为 $L$ 的粒子在外部势中 logarithmically 相互作用的系统, 然而对于 $L\neq 1,2$ 的情形, 这些系统的物理可观测量的精确公式仍然尚未求得。我们证明, 当 $L$ 为偶数时, $\beta=L^{2}$ 的ensemble由 KP 层次结构在有限粒子数下支配——这类结果类比经典 $\beta=1,2,4$ 的ensemble的 KP 可解性。分区函数为满足 Hirota 双线性恒等式的 hyperpfaffian $\tau$-函数, 且关联函数通过作用于该 $\tau$-函数的有限阶微分算子生成。关键机制是一种涌现的量化动量, 它将系统划分为离散子域, 通过动量守恒作为选择规则。这产生了从 ${LM\choose L}$ 到 $O(L^{2}M)$ 的显著维度降低, 从而使得可以显式计算物理可观测量。