最大维数多项式不变子空间上非线性扩散方程的精确解

非线性扩散方程 $u_t = (u^{- 4/3} u_x)_x$ 通过代换 $u = v^{- 3/4}$ 化为一个具有二次非线性的方程，该方程拥有最大可能维数等于五的多项式不变线性子空间。该子空间上解的动力学由五阶非线性动力系统描述（V.A. Galaktionov）。我们发现，对之求导后该系统可化为一个二阶线性方程，它是 Lam\'e 方程的特殊情形，且该线性方程的通解用 Weierstrass $\wp$-函数及其导数表示。结果，显式构造出了五维多项式不变子空间上所有精确解 $v(x,t)$，以及原方程相应的解 $u(x,t)$。利用不变性条件，挑出了两类非不变解族。对其中一族，详细考察了其所有类型的解。其中一些描述了奇特的有限时间爆破机制，而另一些在有限时间内消失。