投票模型中二元候选人混合的精确标度不变性

我们引入一个投票模型并讨论候选人混合中的标度不变性。候选人被分为两类 $\mu\in \{0,1\}$，称为“二元”候选人。总共有 $N=N_{0}+N_{1}$ 名候选人，选民逐一为他们投票。候选人获得选票的概率与其已获票数成正比。候选人 $\mu$ 的初始票数（“种子”）设为 $s_{\mu}$。在无限次投票后，在热力学极限 $Z_{0}=N_{1}s_{1}+N_{0}s_{0}\to \infty$ 下，候选人 $\mu$ 得票份额的概率函数服从形状指数为 $s_{\mu}$ 的伽马分布。在 $1-x_{0},1-x_{1}<<1$ 的区域，二元候选人的累积函数 $\{x_{\mu}\}$ 之间满足幂律关系 $1-x_{1} \sim (1-x_{0})^{\alpha}$，其中临界指数 $\alpha=s_{1}/s_{0}$。在双重标度极限 $(s_{1},s_{0})\to (0,0)$ 且 $Z_{0} \to \infty$ 同时保持 $s_{1}/s_{0}=\alpha$ 固定的情况下，关系式 $1-x_{1}=(1-x_{0})^{\alpha}$ 在整个范围 $0\le x_{0},x_{1} \le 1$ 内精确成立。我们研究了日本赛马协会 1986 年至 2006 年期间的赛马数据，并确认了标度不变性。