空间竞争模型中近似均衡的紧致下界

在 Hotelling 的空间竞争模型中, 单位质量选民分布在区间 $[0,1]$ 中（其位置对应其政治倾向），每个候选人选择该区间内的不同位置作为策略。每个选民投给最近的候选人，候选人选择策略以最大化其选票。已知当候选人数量超过两人时，该模型中可能不存在均衡。然而，人们并不清楚，近似均衡可以多接近多少。我们的工作研究该模型中的近似均衡，若策略配置是 (additive) $\epsilon$-equilibria，则表示无论候选人如何调整其策略，都无法通过 $\epsilon$ 增加其选票。我们证明对于 3 个候选人，对于任意选民分布，都有 $\epsilon \ge 1/12$。因此，出人意料的是，对于任意选民分布和任意候选人策略配置，总有至少 $1/12$ 的选票始终“留在桌上”。扩展此结果，我们证明在最坏情况下，存在选民分布使得 $\epsilon \ge 1/6$，且这一界是紧致的：一个 $1/6$ 的近似均衡始终可以计算得到。随后我们研究 $m$ 个候选人的通用情况，证明随着 $m$ 的增大，我们趋近于精确均衡：可在多项式时间内获得 $1/(m+1)$-近似均衡。我们证明该界是渐进紧致的，通过给出使得 $\epsilon \ge 1/(m+3)$ 的选民分布。