利用 Fourier 系数的有理逼近精确重构扩展指数和

本文推导了一种新的恢复过程，用于重构形如 $y(t) = \sum_{j=1}^{M} \left( \sum_{m=0}^{n_j} \, \gamma_{j,m} \, t^{m} \right) {\mathrm e}^{2\pi \lambda_j t}$ 的扩展指数和，其中频率参数 $\lambda_{j} \in {\mathbb C}$ 两两互异。为进行重构，我们使用 $y$ 关于有限区间 $[0,P] \subset {\mathbb R}$（$P>0$）的一组有限个经典 Fourier 系数。我们的方法至多需要 $2N+2$ 个 Fourier 系数 $c_{k}(y)$ 来恢复 $y$ 的所有参数，其中 $N:=\sum_{j=1}^{M} (1+n_{j})$ 表示 $y$ 的阶数。该恢复基于如下观察：当 $\lambda_{j} \not\in \frac{{\mathrm i}}{P} {\mathbb Z}$ 时，$y$ 的各项具有有理结构的 Fourier 系数。我们采用了 [12] 中近期提出的稳定迭代有理逼近算法。若可获得 $y$ 的足够大的 $L$ 个 Fourier 系数集（即 $L > 2N+2$），则我们的恢复方法自动检测出 $y$ 的项数 $M$、各 $j=1, \ldots , M$ 的重数 $n_{j}$，以及确定 $y$ 的所有参数 $\lambda_{j}$（$j=1, \ldots , M$）与 $\gamma_{j,m}$（$j=1, \ldots , M$，$m=0, \ldots , n_{j}$）。因此，我们的方法为基于 Prony 方法的已知指数和恢复数值方法提供了一种新的稳定替代方案。