PT 对称哈密顿量的精确等谱对

本文描述了一种构造无限塔对 PT 对称哈密顿量 $\hat{H}_n$ 和 $\hat{K}_n$ (n=2,3,4,...) 的技术，它们具有完全相同的本征值。这对中的第一个哈密顿量 $\hat{H}_n$ 的本征值问题必须在复域中提出，因此其本征函数满足复微分方程并在复平面的 Stokes 楔形中满足齐次边界条件。这对中的第二个哈密顿量 $\hat{K}_n$ 的本征函数服从实微分方程并满足实轴上的边界条件。这种等价性构成了两者本征值均为实数的证明。尽管与 $\hat{K}_n$ 相关的本征值微分方程是实的，但哈密顿量 $\hat{K}_n$ 表现出量子反常（与 $\hbar$ 的幂次成正比的项）。这些反常是等价哈密顿量 $\hat{H}_n$ 复数性质的残留。在丢弃 $\hat{K}_n$ 中反常项的经典极限下，哈密顿量对 $H_{n,classical}$ 和 $K_{n,classical}$ 具有周期相同的闭合经典轨道。