Riemann函数与图Riemann-Roch秩中的欧拉特征及对偶

所谓{\em Riemann函数}是指函数$f\colon{\mathbb Z}^n\to{\mathbb Z}$，使得$f({\bf d})=f(d_1,\ldots,d_n)$在${\rm deg}({\bf d})=d_1+\cdots+d_n$足够小时等于$0$，而在${\rm deg}({\bf d})$足够大时等于$d_1+\cdots+d_n+C$，其中常数$C$——称为$f$的{\em 偏移量}。将图的Baker-Norine秩函数加$1$，可得到一个等价的Riemann函数，相关秩函数同理。对于这样的$f$，任意${\bf K}\in{\mathbb Z}^n$存在唯一的Riemann函数$f^\wedge_{\bf K}$，使得对所有${\bf d}\in{\mathbb Z}^n$有$$f({\bf d}) - f^\wedge_{\bf K}({\bf K}-{\bf d}) = {\rm deg}({\bf d})+C$$我们称之为{\em 广义Riemann-Roch公式}。我们证明任一此类方程均可视为某类简单层（称为{\em 图表(diagrams)}）的欧拉特征方程。本文不要求读者具备层论先验知识。对某些Riemann函数$f\colon{\mathbb Z}^2\to{\mathbb Z}$，存在简单的图表族$\{{\mathcal{M}}_{W,{\bf d}}\}_{{\bf d}\in{\mathbb Z}^2}$使得$f({\bf d})=b^0({\mathcal{M}}_{W,{\bf d}})$且$f^\wedge_{{\bf K}}({\bf K}-{\bf d})=b^1({\mathcal{M}}_{W,{\bf d}})$。此外我们给出典范同构$$H^1({\mathcal{M}}_{W,{\bf d}})^* \to H^0({\mathcal{M}}_{W',{\bf K}-{\bf d}})$$其中$W'$为$f^\wedge_{\bf K}$的权。一般Riemann函数$f\colon{\mathbb Z}^2\to{\mathbb Z}$可用图表的的形式差类似建模。Riemann函数${\mathbb Z}^n\to{\mathbb Z}$通过其到两个变量的限制来建模。这些构造涉及一些特定临时选择，尽管所得虚图表的等价类与这些临时选择无关。