素特征下对称群的本质维数

对称群 ${\rm S}_n$ 的本质维数 $\operatorname{ed}_k({\rm S}_n)$ 是最小整数 $d$，使得一般多项式 $x^n + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_n$ 可通过 Tschirnhaus 变换化为 $d$ 参数形式。确定此数是由来已久的开放问题，源于 Felix Klein 的工作，远早于本质维数被正式定义。我们现已知对每 $n \geqslant 5$ 及每特征异于 $2$ 的域 $k$，有 $\operatorname{ed}_k({\rm S}_n)$ 介于 $\lfloor n/2 \rfloor$ 与 $n-3$ 之间。此外，若 $\operatorname{char}(k) = 0$，则对任意 $n \geqslant 6$ 有 $\operatorname{ed}_k({\rm S}_n) \geqslant \lfloor (n+1)/2 \rfloor$。对任意 $n \geqslant 8$ 及任意域 $k$，$\operatorname{ed}_k({\rm S}_n)$ 的值未知，尽管被广泛认为对每 $n \geqslant 5$ 应有 $\operatorname{ed}_k({\rm S}_n) = n-3$，至少在特征 $0$ 时。本文中我们证明对每个奇素数 $p$，存在无穷多正整数 $n$ 使 $\operatorname{ed}_{\mathbb F_p}(\rm{S}_n) \leqslant n-4$。