代数表示的本质维数

设 $k$ 为一个域, $A$ 为一个有限生成结合 $k$-代数, $\operatorname{Rep}_A[n]$ 为函子 $\operatorname{Fields}_k\to \operatorname{Sets}$, 它将包含 $k$ 的域 $K$ 映到 $A_K$ 的维数至多为 $n$ 的表示的同构类集合。我们研究该函子的本质维数的渐近行为, 即函数 $r_A(n) := \operatorname{ed}_k(\operatorname{Rep}_A[n])$, 当 $n\to\infty$ 时。特别地, 我们证明了 $r_A(n)$ 的增长速率决定了 $A$ 的表示型。即, 若 $A$ 为有限表示型则 $r_A(n)$ 有上界, 若为驯顺表示型则线性增长, 若为野表示型则二次增长。此外, $r_A(n)$ 是 $A$ 的一个更精细的不变量, 使我们得以区分同表示型的代数。