代数的增长率，II：Wiegold 二择一

我们研究函数 $d_\mathbf{A}(n)$，该函数给出了 $\mathbf{A}^n$ 的最小生成集的大小，其中 $\mathbf{A}$ 具有立方项 (cube term)。我们证明，如果 $\mathbf{A}$ 具有 $k$-立方项且 $\mathbf{A}^k$ 是有限生成的，那么当 $\mathbf{A}$ 是完美代数时 $d_\mathbf{A}(n) \in O(\log(n))$，而当 $\mathbf{A}$ 是非完美代数时 $d_\mathbf{A}(n) \in O(n)$。当 $\mathbf{A}$ 为有限代数时，这些估计中的“大 O 符号”可替换为“大$\Theta$符号”。