禁洞图的 Erdős-Lovász Tihany 猜想

图中的一个洞是指长度至少为 $4$ 的诱导圈。设 $s\ge2$ 与 $t\ge2$ 为整数。若图 $G$ 的顶点集 $V(G)$ 可划分为两个集合 $S$ 和 $T$，使得 $\chi(G[S]) \ge s$ 且 $\chi(G[T]) \ge t$，则称 $G$ 是 $(s,t)$-可分的。1968 年著名的 Erdős-Lovász Tihany 猜想断言：每个满足 $\omega(G) < \chi(G) = s + t - 1$ 的图 $G$ 都是 $(s,t)$-可分的。该猜想很难，已知的相关结果很少。然而，它已被验证对线图、拟线图以及独立数为 $2$ 的图成立。在本文中，我们通过证明每个满足 $\alpha(G)\ge3$、$\omega(G) < \chi(G) = s + t - 1$ 且不含长度介于 $4$ 与 $2\alpha(G)-1$ 之间的洞的图 $G$ 都是 $(s,t)$-可分的，为 Erdős-Lovász Tihany 猜想提供了更多证据，其中 $\alpha(G)$ 表示图 $G$ 的独立数。