三次超曲面上线性形式值的等分布

设 $C$ 为具有有理系数的 $n$ 元三次型，令 $h$ 为 $C$ 的 $h$-不变量。设 $L_1, \ldots, L_r$ 为具有实系数的线性形式，使得若 $\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^r \setminus \{ \boldsymbol{0} \}$ 则 $\boldsymbol{\alpha} \cdot \mathbf{L}$ 不是有理形式。假设 $h > 16 + 8 r$。令 $\boldsymbol{\tau} \in \mathbb{R}^r$，且 $\eta$ 为正实数。我们证明了系统 $C(\mathbf{x}) = 0, \: |\mathbf{L}(\mathbf{x}) - \boldsymbol{\tau}| < \eta$ 的整数解 $\mathbf{x} \in [-P,P]^n$ 的加权个数的渐近公式。如果线性形式的系数在有理数上代数独立，则我们可以用假设 $n > 16 + 9 r$ 替代 $h$-不变量的条件，并证明该系统存在整数解。最后，我们证明了 $\mathbf{L}$ 在 $C$ 的整数零点处的值在 $\mathbb{R}^r$ 中模1等分布，仅需 $h > 16$。