弯曲空间上Borell-Brascamp-Lieb不等式的等式情形

通过使用最优质量传输和定量Hölder不等式，我们给出了完备黎曼流形上Borell-Brascamp-Lieb亏差的估计。相应地，Borell-Brascamp-Lieb不等式(包括Brunn-Minkowski和Prékopa-Leindler不等式)中的等式情形，就合适边际概率测度之间的最优传输映射而言被刻画。这些结果在平坦与非平坦框架中均提供了若干定性应用。特别地，利用Caffarelli关于Monge-Ampère方程的正则性结果，我们给出了Dubuc关于欧氏背景下Borell-Brascamp-Lieb不等式等式刻画的新证明。当$n$维黎曼流形具有Ricci曲率 ${\rm Ric}(M)\geq (n-1)k$ 对于某 $k\in \mathbb R$ 时，结果表明Borell-Brascamp-Lieb不等式中的等式仅当边际支撑之间的流形特定区域具有常截面曲率$k$时才预期成立。对黎曼流形上Lott-Sturm-Villani型扭曲Brunn-Minkowski不等式中的等式给出了精确刻画。也给出了（不必可逆的）Finsler流形的相关结果。